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Clasificación Consistente de algunas figuras geométricas

La primera pregunta que uno se debiera plantear es:

¿Qué entendemos por clasificación consistente?

CLASIFICACIÓN: De clasificar, es decir, ordenar o disponer en clases.

CONSISTENTE: Viene de consistir, es decir, esta basado una cosa en otra.

Podríamos decir entonces que “clasificación consistente” significa ordenar diferentes cosas en clases, atendiendo a determinadas características de estas cosas.

Veamos un ejemplo:

En historia natural, todos los seres los podemos ordenar en tres grandes reinos:

  • El Reino Animal: Está formado por todos los seres vivos que sienten y se trasladan por impulso propio.
  • El Reino Vegetal: Está formado por todos los seres que viven y crecen, pero no cambian de lugar por impulso propio.

·     El Reino Mineral: Está formado por los seres inorgánicos, desprovistos de vida.

Es decir, todos los seres han sido clasificados consistentemente, según tengan o no vida y capacidad de cambiar de lugar por impulso propio.

Es importante, entonces, darse cuenta de la importacia de disponer de una clasificación consistente de las figuras geométricas, basada en sus características más generales, como son el número de sus lados y la naturaleza de sus ángulos.

Una consistencia es necesaria en la clasificación de las figuras geométricas. Una inspección en libros de Matemática General, libros de Matemática para la enseñanza elemental, textos de Matemática para colegios de nivel elemental, y libros de Geometría, revelan que no hay acuerdo general en la clasificación de los triángulos, cuadriláteros y sólidos.

Hay muchas razones del porqué esto podría ser provechoso al desarrollar un sistema o forma de clasificación. Primeramente podríamos utilizar una variedad de frases sin tener que considerar una colección de definiciones diferentes. Segundo, cuando se ha determinado que una figura tiene las propiedades para clasificarla en una cierta categoría, no debemos preocuparnos que esto podría tener propiedades adicionales que podrían descalificarla. Por último, si determinamos la fórmula del área o volumen para un conjunto de figuras, podemos determinar las fórmulas de área o volumen para cada subconjunto.

TRIÁNGULOS

         Un triángulo que tiene dos lados congruentes es isósceles, y un triángulo que tiene tres lados congruentes es equilátero. Pocos libros establecen que un triángulo isósceles tiene solamente dos lados congruentes. Esto parece artificial. La gran mayoría de los autores están de acuerdo que si dos lados son congruentes, el triángulo es isósceles. Un triángulo equilátero es justamente un caso especial de triángulo isósceles.

 

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULO SEGÚN SUS LADOS

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS.

Observando la clasificación de los triángulos, según sus lados y según sus ángulos, presentadas precedentemente, podemos agruparlos de la siguiente forma:

Si observamos el dibujo anterior nos podemos dar cuenta que la clasificación más general de los triángulos está dada desde el punto de vista de la medida de sus lados, luego se consideró una clasificación desde el punto de vista de la medida de sus ángulos. Esto último nos muestra que entre los triángulos rectángulos podemos encontrar tanto triángulos isósceles como escalenos. De la misma forma podemos decir que entre los triángulos acutángulos tambíen podemos encontrar tanto triángulos isóscels como triángulos escalenos, y por último como un caso especial entre los triángulos acutángulos e isónceles encontramos los triángulos equiláteros.También está claro que entre los triángulos obtuságulos podemos encontrar tanto triángulos isósceles como escalenos.

CUADRILÁTEROS

Los mayores desacuerdos parecen envolver a los TRAPECIOS. Todos parecen estar de acuerdo que un cuadrilátero con un par de lados paralelos es un trapecio. Pero hay desacuerdo general, sin embargo, que un trapecio debe tener exactamente un par de lados paralelos o al menos un par de lados paralelos.

Si un cuadrilátero tiene dos pares de lados paralelos , éste es un paralelógramo. La mayoría de los autores están de acuerdo que tanto los rectángulos, rombos y romboides son tipos especiales de paralelógramos. También están de acuerdo que un cuadrado es rombo y rectángulo a la vez.

Si nuestra clasificación es para tener la ventaja mencionada previamente, debemos llamar a cada cuadrilátero con un par de  lados paralelos, TRAPECIOS. Si éste tiene dos pares de lados paralelos, aún es un trapecio ( un tipo especial de trapecio, llamado paralelógramo ).

Así, sin tener que determinar si una figura tiene también muchas otras propiedades, podemos clasificar los cuadriláteros en una forma lógica.

Un cuadrilátero con un par de lados paralelos es un trapecio, si los otros lados son también paralelos, este se un tipo especial de trapecio, llamado paralelógramo. Los lados opuestos de un paraleógramo son congruentes. Así, si dos lados adyacentes de un paralelógramo son congruentes, los cuatro lados son congruentes, y este es un rombo. Si un ángulo de un paralelógramo es un ángulo recto (entonces, los cuatro ángulos son rectos), éste es un rectángulo. Ahora si éste es un rombo y rectángulo a la vez, éste es un cuadrado.

Ahora si determinamos que un cuadrilátero tiene un par de lados paralelos, sabemos que este es un trapecio, sin tener que determinar alguna otra propiedad en cuanto a la medida de los ángulos, otras líneas paralelas, o longitudes de lados.

Observando los siguientes dibujos podemos:

De acuerdo a las características presentadas anteriormente, podemos llegar a una adecuada clasificación de los cuadriláteros:

Así como hemos obtenido una relativa clasificación de los cuadriláteros, en el dibujo inmadiatamente anterior, podemos agregar algunas consideraciones más, como ser, tratar de ver como podemos simplificar el tratamiento del cálculo del área de la superficie encerradas por estos cuadriláteros.

Recordemos que la relación que nos permite calcular el área de un triángulo está dada por:

                                                         

Y como la región encerrada por un trapecio la podemos dividir en dos regiones triangulares, con la misma altura y con los lados paralelos como sus bases, podemos obtener la relación que nos permita calcular el área de la superficie encerrada por el trapecio, que es:

                                        

Donde si a = b , es claro que tal cuadrilátero es un paralelogramo, entonces, el área encerrada por tal paralelogramo está dada por la relación:

                                       

Todo esto lo podemos observar en el siguiente dibujo:

 

 

 

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