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CONSTRUCCIÓN DE ALGUNOS POLIEDROS

¿Qué entenderemos por construir la red de un poliedro?

            Tal construcción se refiere a construir separadamente cada una de las caras del poliedro y luego de tener tales caras, con ellas formar la red correspondiente a ese poliedro.

Tetraedro Regular

            Si usted quiere construir la red de un tetraedro regular (pirámide de base triangular cuyas caras son superficies triangulares encerradas por triángulos equiláteros) de altura H cms. Y arista igual a a cms., debería usar la relación:

                                       

relación que le permite conocer la altura del tetraedro cuando usted quiere que la medida de las aristas  sean iguales  a  a cms.

Y cuando usted quiera construir una pirámide (tetraedro regular) de una altura H cms., dada, debería usar la relación:

                                    

valor que correspondería a cual debiera ser la longitud de la arista, para que la altura del poliedro sea igual a H cms.

            Veamos esto mediante el siguiente ejemplo:

            Intente construir un tetraedro regular de altura H = 10 cms.

            En este caso usted debe calcular cual debe ser la longitud de la arista, es decir, cual debe ser la medida del lado del triángulo equilátero que es quien determinará la superficie de cada cara del tetraedro regular, ya que por ser regular todas sus caras son superficies triangulares congruentes, entonces:    

                                                 

   ,  lo que dice que cada lado de la superficie triangular encerrada por el triángulo equilátero debe medir  12,25 cms.  Ver figura aproximada:

 

                                                  

NOTA: Este triángulo no tiene altura igual a 10 cms. ya que la altura considerada  H = 10 cms. es del tetraedro.

            Ahora si usted quisiera saber cual debiera ser la altura H de un tetraedro regular (todas sus caras de igual medida) cuyas aristas sean igual a a = 12,25 cms., usted debiera usar la relación:

                                   

Como un desafío para usted intente construir una pirámide o tetraedro regular usando medidas que a usted más le acomode, en relación al tamaño del tetraedro.

 

NOTA: Usted solo debe construir un triángulo equilátero con las medidas que usted imponga. Se sugiere que tal triángulo usted lo construya, con regla y compás,  sobre una superficie rígida, la que puede ser cartón piedra de 1,5 mm. de espesor, o menos, cartulina, terciado de 2 mm., u otro material que usted elija para tal efecto, luego recórtelo y úselo como plantilla para obtener tres superficies triangulares más. Así usted tiene cuatro superficies triangulares congruentes con los que puede formar la red que corresponde a un tetraedro regular.

 

Tetraedro recto, también conocido como Pirámide Regular (es una pirámide cuya base esta determinada por la superficie  encerrada por un triángulo equilátero y cuyas caras laterales son superficies encerradas por triángulos isósceles.       

Caso 1:

            Base: Superficie triangular equilátera.

            Caras laterales: Triángulos isósceles de base igual a la longitud de los lados del triángulo equilátero de la base y sus dos lados no coincidentes con las aristas de la base son congruentes entre si y no congruentes con esas aristas.

NOTA: No confundir base de un triángulo con base de un poliedro, uno es un segmento y el otro es una superficie.

            Como hemos considerado que la base del poliedro en construcción está determinada por un triángulo equilátero, entonces, sus tres lados tendrán igual medida, la que será igual a a cms. Como las caras laterales son superficies encerradas por triángulos isósceles, la medida de sus dos lados congruentes serán iguales a b cms. cada una, y la base de estos triángulos isósceles es igual a a cms., entonces, la altura que debiera tener tal pirámide o tetraedro no regular, está dada por

                                 relación que es válida cuando  ,  o bien

De acuerdo a lo que tenemos, tratemos de construir una pirámide de base triangular  (base: triángulo equilátero) cuyas medidas de la base es a = 6 cms. y la medida de los lados congruentes de los triángulos isósceles de las caras laterales sea b = 4 cms., entonces, la altura que debiera tener tal pirámide es:

 

                           

 

Pero si ahora consideramos que  a = 6 cms.  y  b = 3,4 cms. entonces la altura sería:

 

 ,  es claro que en este caso tal pirámide no es posible que exista pues no es un número real, es decir, la altura no existe, por lo tanto tampoco la pirámide.

            Como los cálculos matemáticos no mienten, comprobemos esto construyendo las pirámides que pudieran resultar para cada uno de los datos que a continuación se dan:

Primer caso:  a = 6 cms. y  b = 4 cms. y

Segundo caso:  a = 6 cms.  y  b = 3,4 cms.

Preguntas:

¿Qué le resultó en cada caso?

¿En ambos casos existe tal pirámide?

¿Es posible en el segundo caso que las aristas de las caras laterales y las aristas de la base se puedan nacer coincidir?

Esto nos confirma que es cierto que   b > 0,58 a

 

 Caso 2:

             Base: Superficie encerrada por un cuadrado de lado a cms.

            Caras laterales: Superficies encerradas por triángulos isósceles de lados cuyas medidas de dos de sus lados congruentes iguales a  b cms.

Este caso representa también a una pirámide recta o pirámide regular, ya que su base es un polígono regular y sus caras laterales son triángulos isósceles. También conocida como Pirámide de base cuadrada

Ver figura:

 

 

                             

Si queremos conocer cual sería la altura H de esta pirámide cuyas medidas de las aristas de la base sean igual a a cms.  y las medidas de las aristas de las caras laterales iguales a b cms. , la relación que permite calcular tal altura está dada por:  , con  

Ahora si queremos imponerle una altura determinada debemos, además, obligadamente imponer ya sea la medida de una de las aristas de las caras laterales o bien de una de las aristas de la base, es así entonces, que si se conoce la altura H cms. y la medida de la arista de la base igual a a cms. , la medida que deben tener las aristas de las caras laterales debe ser iguales a:

 

 

                            

 

Pero si se imponen las medidas de las aristas laterales  iguales a b cms. Y la medida de la altura igual a H cms., entonces la medida que deben tener la aristas de la base está dada por:

                           ,  con  b > H

 

 Caso 3:

            Base: Superficie encerrada por un hexágono regular de lado igual a a cms.

            Caras laterales: Superficies encerradas por triángulo isósceles cuyos lados no coincidentes con la base miden b cms.

Esta pirámide es conocida como Pirámide de base hexagonal

            Veamos, entonces, como podemos calcular su altura en base a la información entregada. Ver figura:

                            

Debemos recordar que si la base es un hexágono regular sus lados tienen la misma medida que el radio de la circunferencia circunscrita, lo que nos dice que si los lados de tal hexágono mide a cms. su radio también medirá a cms., y como la medida de una arista lateral es igual a b cms., entonces la medida de su altura H estará dada por la relación:

                               ,  con  b > a

Pero si queremos saber cual debe ser la medida de las aristas laterales, imponiendo la medida de la altura y la medida de la arista basal, tendríamos que su medida es igual a:

                               

Y si queremos conocer cual debe ser la medida de la arista basal conociendo la medida de la altura que queremos imponerle a la pirámide y la longitud de las aristas laterales, debemos usar la relación:

                                , con  b > H

Ahora sólo falta que usted construya, con regla y compás, cada una de las caras involucradas y luego las recorte, y a continuación las une de tal manera que se forma la red correspondiente, y obtendrá el poliedro que usted quiere.

           

            Pero continuemos con el estudio de otros poliedros.

 

Tetraedros no regulares

Caso 1:

            Base: Triángulo rectángulo isósceles, cuyos lados congruentes miden a cms.

            Caras laterales: triángulos isósceles de lados congruentes que miden b cms.

Ver figura:

                               

En este caso las medidas del triángulo rectángulo isósceles que determina la base del tetraedro son:

            Lados congruentes iguales a a cms.

            Lado no congruente a los otros dos mide

Las medidas de los lados congruentes de los triángulos isósceles que determinan las caras laterales son:

            Lados congruentes iguales a b cms.

           Como las caras laterales son tres, dos de estas caras laterales tienen por base a cms. y la otra cara tiene base igual a

 

Con estas medidas es posible calcular la altura H del tetraedro, altura que está contenida en la cara lateral de lados congruentes iguales a b cms y base , y es:

 ; donde   , o lo que es equivalente a  b > 0,7 a ,

Entonces, de acuerdo a la información entregada construya un tetraedro con la siguiente información:

             a = 4cms. y  b = 6 cms., donde la altura debiera ser  H = 5,29 cms.

así, también trate de construir un tetraedro cuyas medidas de sus aristas sean  a = 5 cms. y  b = 3 cms.

            ¿Será posible construirla? ¿por qué?

Caso 2:

            Base: Triángulo rectángulo isósceles cuyos lados congruentes miden  y la base de este triángulo mide a cms.

            Caras laterales: Tres superficies triangulares, determinadas por dos triángulos rectángulos escaleno de hipotenusa igual a b cms., un cateto igual

y el otro cateto igual a H cms., y un triángulo isósceles de lados congruentes iguales a b cms. y  base igual a a cms. Ver figura:

                                  

Esta pirámide de base triangular, cuyas dimensiones de sus aristas están dadas, la relación entre éstas es la misma que la del caso 1, es decir:

                                 , con  b > 0,7 a

Pero veamos este mismo caso para cuando el poliedro responde a que los lados congruentes del triángulo isósceles que determina la base mide a cms. y la hipotenusa es igual a Sus caras laterales  son determinadas por dos triángulos rectángulos escaleno de medidas tales que un cateto mide H cms. y el otro mide a cms., y su hipotenusa mide b cms., y un triángulo isósceles de lados congruentes cuya medida es igual a b cms. , y su lado desigual mide   Entonces, la relación que existe entre estas medidas es:

                                  ;  con  b > a

NOTA: Como a y b son consideradas medidas de longitud, ellas son mayores que cero.

Ahora sólo resta que usted se de las medidas y se disponga a construir superficies triangulares, luego las recorte y las una entre sí para determinar la red que quiere obtener.

 

En breve tiempo más agregaré otras construcciones de redes de poliedros. 

 

 

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