Línea recta horizontal y línea recta vertical.Concepto de perpendicularidad entre rectas

Cuando se le pide a un niño que dibuje una línea recta horizontal, o una línea recta vertical, o bien, que dibuje dos recta perpendiculares entre sí, surge en el niño la confusión entre estos conceptos, razón por la cual es que se presenta el siguiente power point que pudiera ayudar a explicar la diferencia entre ellos y de donde "provienen" tales conceptos.  http://www.gratisweb.com/aquirozr/41.recta%20hori%20y%20vert..ppt

 

Circunferencia inscrita, circunscrita y exinscrita en un triángulo

Cuando hablamos de circunferencias inscritas, circunscritas y exinscrita, éstas generalmente están referidas a un triángulo cualquiera.

El problema surge cuando queremos determinar el centro de cada una de estas circunferencias. Esto se muestra en el siguiente power point:

http://www.gratisweb.com/aquirozr/40.Cir.ins.cir.ex.ppt

En algunos casos estas circunferencias pueden estar referidas a otro tipo de polígonos, por ejemplo circunferencia circunscrita a un cuadrado, a un rectángulo o a un cuadrilátero cualquiera, (en este último caso se dice que el cuadrilátero es inscriptible, esto lo trataremos en otro artículo)

TRIÁNGULO ESCALENO Y SUS PROPIEDADES

Veamos como definen algunos textos de geometría este tipo de triángulo.

Triángulo escaleno: Es aquel triángulo para el cual dos lados cualesquiera no son congruentes. Geometria Moderna, Moise Downs

Triángulo escaleno: Es aquel triángulo que tiene sus tres lados distintos. Diccionario de Matemáticas, Editorial Cultural, S.A. Madrid - España.

Triángulo escaleno: Es aquel triángulo que tiene sus tres lados desiguales, es decir de distinta medida. Geométria, Bruño.

Si este triángulo tiene sus tres lados de distinta media, significa que sus tres ángulos interiores también debieran tener distinta medida. Esta afirmación se basa en el teorema 7-5 del libro de Geometría Moderna, Moise Downs, pag 195, que dice: "si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados no son congruentes y el ángulo mayor es el opuesto al lado mayor".

Estudiemos, entonces, las propiedades de los elementos secundarios de este triángulo, y para ello le sigiero ver el siguiente power point:

http://www.gratisweb.com/aquirozr/39.Tri.%20Escal.ppt

EL TRIÁNGULO ISÓSCELES Y SUS PROPIEDADES

Primeramente veamos lo que entenderemos por triángulo isósceles, es decir veamos su definición:

Definición1: Un triángulo que tiene dos lados congruentes se llama isósceles. El tercer lado se llama base y los dos ángulos asociados a la base son ángulos de la base y el ángulo opuesto a la base se llama ángulo en el vértice. (Geometría Moderna, Moise Downs)

Definición 2: Un triángulo es isósceles cuando él tiene dos lados iguales, es decir, congruentes. (Cours de Géométrie, Par une Reunion de Professeurs)

Definición 3: Un triángulo isósceles es un triángulo que tiene dos lados iguales, es decir, congruentes. (Elements of Geometry, Barnard and Child)

NOTA: Si observamos detenidamente cada una de las definiciones anteriores nos damos cuenta que en ninguna de ellas nada se dice del tercer lado, lo que nos lleva a suponer que ese tercer lado puede ser igual o de distinta medida que los otros dos lados. Es así entonces que, un triángulo equilátero también puede ser considerado como un triángulo isósceles, ya que él tiene al menos dos lados congruentes y en las definiciones presentadas no se dice que un triángulo isósceles debe tener sólo dos lados de igual medida.

Utilisando las definiciones anteriores estudiemos las propiedades de este triángulo, usando el siguiente power point: http://www.gratisweb.com/aquirozr/38.Tri.%20Isoscl.ppt

PROPIEDADES DEL TRIÁGULO EQUILÁTERO

Cuando se habla de las peopiedades de un triángulo equilátero, éstas pueden estar referida a la medida de sus ángulos, a la medida de sus lados y a los elementos secundarios, es decir, altura, mediana (también llamada tranversal de gravedad), madiatriz(también llamada simetral) y bisectriz.

En relación a las propiedades primarias del triángulo equilátero, estas se refieren a que tal triángulo tiene sus tres ángulos interiores congruentes, es decir su medida es igual a 60º y sus lados congruentes entre sí, es decir de igual medida arbitraria. Esto último nos lleva a pensar que la medida de cada uno de los ángulos interiores del triángulo es independiente de la medida de sus lados, lo que nos dice claramente que una de la propiedades invariable del triángulo equilátero es justamente la medida de sus ángulos interiores, es decir, cada uno mide 60º, independiente de la medida de sus lados.

Se sugiere ver el siguiente power point: http://www.gratisweb.com/aquirozr/36.Tri.%20Equil.ppt

Ahora si colocamos atención en los elementos secundario del triángulo equilátero podemos aobservar que no existe niguna diferencia entre ellos, es decir que una altura es también mediana, mediatriz y bisectriz, lo que nos lleva a pensar que tanto el incentro (que es el punto de concurrencia de las bisectrices y que corresponde al centro de la circunferencia inscrita), el circuncentro (que es el punto de concurrencia de las mediatrices y que corresponde al  centro de la circunferencia circunscrita), el ortocentro (que es el punto de concurrencia de las alturas) y el baricentro, también llamado centro de gravedad (es el punto de concurrencia de las madianas o tranversales de gravedad), son el mismo punto. esto último sólo ocurre en un triángulo equilátero y en ningún otro triángulo.

Veamos esto en el siguiente power point: http://www.gratisweb.com/aquirozr/37.Tria.%20Equil.ppt

RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA.

El problema que se presenta aquí es justamente ver cono se traza una recta tangente a una circunferencia desde un punto P fuera de la circunferencia, usando solamente la regla y el compás.

Pareciera que esto es tan simple como tomar la regla y presentarla de tal manera que el canto de ella contenga o esté muy cerca del punto P y que además se observe que la regla está también muy cercano a la circunferencia, y luego trazar la recta que podría ser la tangente pedida, pero surge la pregunta: ¿La recta que así se traza pasa justamente por el punto de tangencia?

Pero, ¿qué entendemos por tangente a una curva y por punto de tangencia?

Recta tangente a una curva: Es una recta que corta a la curva (circunferencia) en un solo punto y se llama punto de tangencia. Moise Downs, Geometría Moderna.

Punto de tangencia: Es el punto de contacto entre la curva y una recta tangente a la misma. Este punto es uno y sólo un punto que es común tanto a la curva como a la recta. Definición obtenida del Diccionario de Matemáticas, Editorial Cultural S.A. España.

 Ahora que está claro lo que se entiende por tangente a una curva, por punto de tangencia y el problema planteado, veamos como se efectúa tal trazado.

Ver el siguiente Power Point.

http://www.gratisweb.com/aquirozr/35.Rec.tan.a%20circun.ppt

CIRCUNFERENCIA EXINSCRITA A UN TRIÁNGULO

Existen tres circunferencias que están relacionadas con el triángulo y su nombre está asociado directamente a la posición que ella tiene con respecto al triángulo, es decir:

Si los vértices de un triángulo están sobre la circunferencia y se observa que el triángulo está dentro de la circunferencia, se habla de una circunferencia circunscrita al triángulo.

Si ahora se observa que el triángulo está fuera de la circunferencia, es decir, la circunferencia está dentro del triángulo y es tangente a los tres lados del triángulo, en este caso se habla de una circunferencia inscrita en un triángulo.

Una de las circunferencias que menos aparece en los textos de Geometría es la circunferencia exinscrita al triángulo. La característica que posee esta circunferencia es que ella es tangente a un lado del triángulo y a la prolongación de los otros dos lados. Como los lados del triángulo son tres, entonces deberían existir tres circunferencias exinscritas al triángulo.

Estudiemos esta última circunferencia en el siguiente power point.

http://www.gratisweb.com/aquirozr/34.Circ_exinsc_tri..ppt

CIRCUNFERENCIA INSCRITA EN UN TRIÁNGULO

Cuando se habla de una circunferencia inscrita en un triángulo se quiere decir que la circunferencia está en el interior del triángulo  y que además ella es tangente a los lados del triángulo. existen también otras tres circunferencia que son tangentes a los lados del triángulo, pero ellas no son inscritas en el triángulo, se llaman circunferencias exinscritas en el triángulo, las veremos en otro apartado. Veamos el siguiente power point.

http://www.gratisweb.com/aquirozr/33.%20Circ_inscrita_%20tri.ppt