Volumen de algunos Cuerpos

 

Para su estudio, veamos la representación aproximada de algunos sólidos, en tres dimensiones.

Supongamos que tenemos una curva simple cerrada en un plano E. En otro plano paralelo a E tenemos otra curva simple cerrada, la que es congruente a la que teníamos en E. Supongamos además que los segmentos que unen los puntos correspondientes de esas dos curvas son todos paralelos entre sí. La unión de todos esos segmentos juntos con los interiores de las curvas simples cerradas es lo que llamaremos CILINDRO. La superficie encerrada por las curvas simples cerradas, más la curva misma es lo que llamaremos BASE del cilindro. La unión de todos los segmentos paralelos es lo que llamaremos SUPERFICIE CILÍNDRICA.  Ver la siguiente figura:

 

Si las curvas simples cerradas son circunferencias, este cilindro lo llamaremos CILINDRO CIRCULAR.

Si cada segmento que genera la superficie cilíndrica es perpendicular a la base, tal cilindro circular le llamaremos CILINDRO CIRCULAR RECTO.

NOTA: La figura que nosotros a menudo pensamos que es un cilindro, es un cilindro circular recto, pero esto no siempre es así.

Si la curva simple cerrada es un polígono, a tal cilindro le llamaremos PRISMA, donde la superficie encerrada por los polígonos, que le dan el nombre a tal prisma se llama base del prisma y como la superficie cilíndrica está generada por paralelogramos, ellos generan las llamadas CARAS LATERALES. Así si la curva simple cerrada es un paralelogramo, ese prisma lo llamaremos PARALELEPÍPEDO.

Un CUBO es un paralelepípedo cuyas caras representan superficies cuadradas. Sus bases son superficies cuadradas y su cara lateral está formada por superficies cuadradas congruentes con sus bases. 

 

 

El volumen de cualquier cilindro se encuentra usando la relación:

                                                                  

Donde B es el área de la base (región encerrada por la curva simple cerrada) y  h  es la altura (distancia que separa a los planos paralelos). La relación que permita calcular el volumen de un cilindro en particular depende de la forma que tiene la base.

Ahora supongamos que tenemos una curva cerrada C en un plano E, y un punto P fuera del plano E. La unión de todos los segmentos con uno de sus puntos extremos en C y el otro extremo en el punto P, junto con el interior de C y la curva C es lo que llamaremos CONO.

Si C es una circunferencia, el cono es un CONO CIRCULAR. Si el segmento bajado desde el punto P hasta el centro de la circunferencia C es perpendicular al plano E, este es un CONO CIRCULAR RECTO. Un cono circular recto es lo que nosotros generalmente pensamos cuando mencionamos a un cono.

Si la curva C es un polígono convexo, llamamos al cono PIRÁMIDE. Si el polígono es un triángulo, la pirámide es un TETRAEDRO.

Para cualquier cono, el volumen está dado por: 

                                 

Donde B es el área de la base y h es la altura del cono. Ahora si la base es un círculo, su área es 

  , entonces el volumen del cono está dado por la relación:

                             

Si éste es una pirámide de base cuadrada, su volumen es:

                             

 Donde  a  es la longitud del lado del cuadrado de la base.

Ahora visualicemos los cuerpos anteriormente mencionados:

Es importante darse cuenta que las definiciones usadas aquí, incluye solamente la superficie y no el interior.

Es importante también destacar que de acuerdo a las clasificaciones sugeridas aquí, cada prisma es un cilindro, como así también lo es cada cilindro circular recto.

Esto es enteramente consistente con la clasificación hecha para las curvas simples cerrada (cada polígono es una curva simple cerrada, como lo es cada circunferencia). En forma similar, toda pirámide es un cono, y así también lo es un cono circular recto.

Los siguientes conjuntos representados a continuación muestran las relaciones que existen entre cilindros y conos.

 

CONCLUSIONES

 

Las definiciones y clasificaciones sugeridas aquí, usadas consistentemente,  permite clasificar una figura o cuerpo geométrico, determinando si ésta tiene ciertas propiedades, sin empezar a ver que si puede tener también muchas otras propiedades. Esto, permite también un desarrollo en cuanto a las relaciones matemáticas que nos permite calcular tanto el área de las superficies encerradas por las curvas simples cerradas, como el volumen de ciertos cuerpos, sólo recordando aquellas relaciones correspondientes para cualquiera de estos superconjuntos.